UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations

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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations

प्रश्नावली 9.1.

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-
दी गई अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है।
∴ इसकी घात परिभाषित नहीं है। जबकि कोटि = 4
y’ + 5y = 0
हल-
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि की अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अतः समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 3.

हल-
कोटि = 2, घात = 1

प्रश्न 4.

हल-
कोटि = 2
चूँकि समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.

हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } }$ है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 6.
(y”’)² + (y”)³ + (y’)⁴ + y⁵ = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज (y”’)² है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 2 है।

प्रश्न 7.
y”‘ + 2y” + y’ = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y”’ है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 1 है।

प्रश्न 8.
y’ + y = e^x
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 10.
y” + 2y’ + siny = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है तथा यह y’, y” में बहुपदी है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है। .

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण

की घात है
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
दी गई समीकरण y’, y” में बहुपद समीकरण नहीं है। अत: इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है। अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण

की कोटि है
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज

कोटि 2 है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्नावली 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है

प्रश्न 1.
y = e^x + 1 : y” – y’ = 0
हल-
दिया है y = e^x + 1, अवकल समीकरण y” – y’ = 0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
y”- y’ = e^x – e^x = 0
अतः y = e^x + 1 अवकल समीकरण y” – y’ = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C : y’ – 2x – 2 = 0
हल-
दिया है, y = x² + 2x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = 2x + 2 + 0 ⇒ y’ – 2x – 2 = 0
∴y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण y’ – 2x – 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C : y’ + sin x = 0
हल-
दिया है, y = cos x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = – sin x + 0 या y’ + sin x = 0
∴y = cos x + C, अवकल समीकरण y’ + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि $y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } }$ , अवकल समीकरण ${ y }^{ I }=\frac { xy }{ 1+{ x }^{ 2 } }$ , का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन $y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } }$ …(1)
(1) का x में सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)
हल-
दिया है, y = Ax ..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = A x 1 ..(2)

xy’ = y (x ≠ 0) का हल y = Ax है।

प्रश्न 6.
दिखाइए कि y = xsin x, अवकल समीकरण $x{ y }^{ I }=y+x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }$ (x≠0 और x > y अथवा x < – y) का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y = xsinx …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = x cos x + sin x . 1 = x cos x + sinx

प्रश्न 7.
दिखाइए कि xy = logy + C अवकल समीकरण

का हल है।
हल-
दिया है। xy = log y + C …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
दिखाइए कि y – cosy = x अवकल समीकरण (y siny + cosy + x) $\frac { dy }{ dx }=y$ का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन
y – cos y = X …(1)
(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x + y = tan^-1 y : y²y’ + y² + 1 = 0
हल-
दिया है,

प्रश्न 10.
सत्यापित कीजिए कि $y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }$ , x∈ [-a, a] अवकल समीकरण $x+y\frac { dy }{ dx } =0$ का एक हल है।
हल-
प्रश्नानुसार, $y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }$ …(1)

प्रश्न 11.
चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हल-
(b) चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में 4 मनमानी स्थिरांक हैं।
क्योंकि इसमें भिन्न समीकरण के क्रम के रूप में मनमानी स्थिरांक की एक ही संख्या होती है।

प्रश्न 12.
तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के विशेष समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
हल-
(d)मनमानी स्थिरांक = 0 की संख्या
क्योंकि विशेष समाधान मनमानी स्थिरांक से मुक्त है।

प्रश्नावली 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$
हल-
दिया है, $\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अतः अभीष्ट अवकल समीकरण y” = 0 है।

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल-
दिया है,
y² = a(b² – x²) ..(1)

प्रश्न 3.
y = ae^3x + be^-2x
हल-
दिया है,
y = ae^3x + be^-2x ..(1)

प्रश्न 4.
y = e^2x (a + bx)
हल-
दिया है,
y = e^2x (a + bx) …(1)

प्रश्न 5.
y = e^x (a cosx + b sinx)
हल-
दिया है,
y = e^x (a cosx + b sinx) …(1)

प्रश्न 6.
y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
वृत्त y को मल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्त केन्द्र x अक्ष पर होगा। माना (a, 0) वृत्त का केन्द्र तथा a वृत्त की त्रिज्या है, तब वृत्त का समीकरण
(x-a)² + y² = a²
या x² + a² – 2ax + y² = a²
या x² + y² – 2ax = 0 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनको अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।
हल-
ऐसे परवलय के कुल का समीकरण जिसका शीर्ष मूल बिन्दू तथा अक्ष OY है, निम्नवत् है, …(1)
x² = 4ay
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल-
ऐसे दीर्घवृत्त के कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
हल-
दिये गये अतिपरवलय कुल का समीकरण

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल-
दिये गये वृत्त कुल का समीकरण x² + (y – b)² = 9 …(1)

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन सा अंतर समीकरण है

के रूप में सामान्य समाधान?

हल-

प्रश्न 12.
निम्न में से किन अंतर समीकरणों में वाई y = x एक्स का विशेष समाधान है?

हल-

प्रश्नावली 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण को व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1

हल-
दिया है,

चरों को अलग-अलग करके समाकलन करने पर,

प्रश्न 2

हल-
दिया है,

चरों का पृथक्करण करके समाकलन करने पर,

जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.

हल-
दिया है,

चरों का पृथक्करण करने पर,

जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल-
दिया है, sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0

जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (e^x + e^-x) dy – (e^x – e^-x)dx = 0 को हल कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
(e^x+ e^-x) dy – (e^x – e^-x) dx = 0 यी (e^x + e^-x) dy = (e^x – e^-x) dx

प्रश्न 6.

हल-
दिया है,

जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल-
दिया है,
y log y dx – x dy = 0

जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1) $\frac { dy }{ dx }$ = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0
हल-
दिया है, (x³ + x² + x + 1) $\frac { dy }{ dx }$ = 2x² + x
या (x³ + x² + x + 1) dy = (2x² + x) dx

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sin x है।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण y’ = e^xsin x

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण xy $\frac { dy }{ dx }$ = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण, xy $\frac { dy }{ dx }$ = (x + 2) (y + 2)

प्रश्न 17.
बिन्दु (0,-2) से होकर जाने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल-

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता स्पर्श बिन्दु को बिन्दु (-4,-3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1) से गुजरता है तो इस वक़ की समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किसी समय ‘t’ पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है।

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन में वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि Rs 100, 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो r को मान ज्ञात कीजिए। (log_e2= 0.6931)
हल-
माना मूलधन P है, तब प्रश्नानुसार

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs 1000 जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी?(e^0.5 = 1.648)
हल-

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनकी उपस्थित संख्या के समानुपाती हैं?
हल-
माना जीवाणु समूह की संख्या जब t = 0 है, 1,00,000 और किसी समय t पर N है।

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्नावली 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल सम्मकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल-
दिया गया समीकरण

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.
(x – y)dy – (x + y)dx = 0
हल-

प्रश्न 4.
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0
हल-
दिया है, (x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y)dx + e^x/y(1 – x/y)dy = 0
हल-

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x + y)dy + (x – y) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x =1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण x² dy + (xy + y²) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x = 1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण

का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि $y=\frac { \pi }{ 4 }$ यदि x = 1
हल-

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण

का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 0 यदि x = 1
हल-
दिया हुआ अवकल समीकरण

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण

का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 2 यदि x = 1
हल-

प्रश्न 16.

हल-
(c) x = vy

प्रश्न 17.

हल-
(d)

प्रश्नावली 9.6

• 1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = 2 तथा Q = sin x

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = sec x ,Q = tan x

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण (1+x²)dy + 2xy dx = cotx dx ,(x≠0) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण y dx + (x – y²)dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-

• 13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हुल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.
मूल विन्दु से होकर जाने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है,
तब प्रश्नानुसार $\frac { dy }{ dx }=x+y$

प्रश्न 17.
विन्दु 0, 2) से होकर जाने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी विन्दुके निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है।
तब प्रश्नानुसार $x+y=\frac { dy }{ dx }+5$

प्रश्न 18.

हल-

प्रश्न 19.

हल-

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